[미시경제학]7. 생산이론(3), 생산함수 (보충)

콥 더글라스 생산함수 보충

지난번 포스팅을 다시한번 보니 콥 더글라스 함수가 굉장히 중요한데 왠지 그냥 대충 넘어가는 느낌을 지울 수 없어 다시한번 더 자세하게 다뤄볼까합니다.

조금 더 자세한 예를 들기 위해서 숫자를 넣어봤습니다. 여기 숫자는 제가 임의로 넣었기 때문에 그렇게 큰 의미는 없습니다. 그냥 이해를 돕기 위한 것 뿐입니다. 그래프를 보면 두 개의 곡선이 있습니다. 그 중 아래 y=10 이고 위 y= 13입니다. 이게 가장 중요한 개념이면서 가장 헷갈리는 개념입니다.

우리는 지금까지 y축을 종속변수, x축을 독립변수로 봤습니다. 즉, x가 어떻게 움직이느냐에 따라서 y값을 구하는 꼴이었죠. 하지만 지금 수직축도 가로축도 y가 아닙니다. 그런데 곡선은 y라고 되어있습니다. 이래서 좀 헷갈리는 것이지요.

아래 곡선은 y가 모두 10입니다. 즉 y가 10으로 고정되어 있다는 뜻입니다. 그 10을 만들어내기 위해 x1과 x2가 각각 몇 개가 필요한지 나타내주는 그래프입니다. x1이 5개, x2가 20개 있든, x1이 10개, x2가 10개가 있어도 y는 10으로 동일하다는 뜻입니다. 어떤 사람이 빵을 만드는데 마가린이 5개, 버터가 20개가 있어도, 마가린 10개 버터 10개가 있어도 마찬가지로 빵을 10개 만들 수 있다는 뜻입니다.

하지만 위 곡선은 y가 13입니다. 빵을 13개가 만들어지는 곡선인 것이지요. 이처럼 y가 증가할 수록 곡선이 우상방으로 이동하는 특징을 가지고 있습니다.

레온티에프 생산함수

생산함수중에 레온티에프 함수가 하나 더 있습니다. 만약 자동차 1대를 만드는데 바퀴가 4개 필요하고 바퀴 축이 2개 필요하다면 어떻게 될까요? 어떤 이유로 바퀴축을 2개 밖에 생산하지 못한다면 바퀴를 20개 생산하든 100개 생산하든 자동차는 한 대밖에 생산하지 못할 것입니다. 반대로 바퀴를 4개 밖에 생산하지 못한다면 바퀴축을 몇개 생산하든 자동차 한 대밖에 생산하지 못하겠죠. 그렇게 되면 위의 그래프와 같이 표현할 수 있습니다.

여기서도 y가 곡선상에는 고정이라는 것을 아실 수 있으시겠죠?

생산함수의 특성

1. Monotony and convexity

한국의 번역이 어떻게 되는지는 잘 모르겠습니다. Monotony는 단조로움이라는 뜻인데 그러니까 곡선이 한방향으로 쭉 흘러가지 다른 방향으로 틀지 않는다는 뜻입니다. convexity는 볼록인데 곡선의 모양이 볼록하다는 것이지요. 이 특성은 콥 더글라스 함수를 보시면 그냥 이해하실 수 있습니다.

2. 감소하는 한계생산성

생산함수는 제 블로그 생산이론(1)에서 볼 수 있는 것처럼 y를 수직축으로 놓고 봤을때 가로축이 x1이든 x2든 그래프는 똑같이 그려집니다.

x2를 상수 취급하고 x1으로 편미분을 하면 그 값은 양수가 나오는데 그 뜻은 x1을 투입하면 투입할 수록 더 많은 생산품 y를 얻을 수 있다는 것이고 다시한번 더 x1으로 편미분하면 음수가 나오는데 x1을 투입하면 그에 비례해서 생산품 y를 얻을 수 있는게 아니고 점점 더 y의 출하의 증가량이 줄어든다는 것입니다. x1을 상수로 취급하고 x2로 편미분해도 결과는 똑같이 나옵니다.

3. 생산요소의 대체성

생산요소 x1과 x2가 각각의 특성을 가지고 있기는 하지만 둘이 어느정도 대체는 가능하다는 뜻인데요. 예를 들자면 함박스테이크를 만드는데 소고기와 돼지고기를 5:5로 만들었는데 돼지고기가 부족해서 6:4 비율로 만들거나 반대로 소고기를 적게해서 4:6으로 해도 함박스테이크는 만들 수 있습니다. 이렇게 소고기와 돼지고기를 서로 완전히는 아니지만 어느정도는 대체할 수 있다는 것을 뜻합니다.